Saifa Ayu Nur Islamiyah

Minggu, 16 Desember 2018

INTEGRAL

A. PENGERTIAN INTEGRAL
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$ .

B. NOTASI INTEGRAL

C. ATURAN DASAR INTEGRAL

The power rule

The exponential rule

The logarithmic rule

The integral of sum
The integral of multiple
The substitution rule
The integration by parts
Trigonometric rules

Jumat, 16 November 2018

MATRIKS

A. Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan elemen-elemen yang dapat berupa angka maupun variabel yang terletak dalam suatu baris dan kolom. Matriks dapat dikenali dengan adanya kurung siku “[]” atau tanda kurung “()” dipinggir kumpulan angka tersebut. Matriks biasanya menggunakan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain. Sedangkan menggunakan huruf kecil seperti a, b, c untuk menunjukan elemen didalam matriks tersebut.

A_mxnadalah matriks A yang memiliki jumlah baris m dan jumlah kolom n. Contohnya untuk matriks A_3x2adalah seperti gambar dibawah.

a₁₂adalah elemen matriks A yang terletak pada baris kesatu dan kolom kedua

B. Operasional matriks

1. Penjumlahan matriks

Penjumlahan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dengan posisi atau letaknya dengan matriks yang lainnya. Penjumlahan matriks dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran yang sama.

A + B = B + A

contoh soalnya adalah sebagai berikut :

2. Pengurangan matriks

Pengurangan matriks dilakukan dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian dengan posisi atau letaknya dengan matriks yang lainnya. Pengurangan matriks dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran yang sama.

A – B ¹ B – A

Contoh soalnya adalah :

3. Perkalian matriks

Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama.

C. Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks baris

Matriks baris adalah matriks yang memiliki satu baris saja. Secara umum, ordo dari matriks baris berbentuk 1 x n dengan n menentukan banyak kolom dari matriks baris tersebut.

2. Matriks kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Secara umum, ordo dari matriks kolom adalah m x 1 dengan m menentukan banyak baris matriks kolom tersebut.

3. Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama sehingga terlihat seperti persegi. Bentuk umum dari matriks ini adalah A_nxndengan n menyatakan banyak baris dan kolom yang sama. Matriks persegi A biasa juga disebut sebagai matriks persegi berordo n.

4. Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua komponen di bawah diagonal utamanya adalah nol (0).

5. Matriks segitiga bawah

Matriks segitiga bawah adalag matriks persegi yang semua komponen di atas diagonal utamanya adalah nol (0).

6. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang jika semua komponen diagonal utamanya tidak nol dan semua komponen lainnya adalah nol (0).

7. Matriks identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua komponen diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas dinotasikan sebagai I_nxnatau I_nyang berarti matriks identitas berordo n x n.

8. Matriks transpose (A^t)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh :

9. Determinan matriks

a. Matriks berordo 2x2

Misalkan :

Maka determinan A atau ditulis IAI adalah :

IAI = a ´ d – b ´ c

Contoh soalnya sebagai berikut.

b. Matriks berordo 3x3

Misalkan :

10. Invers matriks

Misalkan :

Maka inversnya adalah :

Contoh soalnya adalah sebagai berikut.

Sifat-sifat invers matriks :

A.A^-1 = I = A^-1 . A

(AB)^-1= B^-1. A^-1

(A^-1)^-1= A

AI = A = IA

Rabu, 10 Oktober 2018

TURUNAN SATU VARIABEL

A. Definisi Turunan Fungsi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

B. Perbedaan Turunan Diferensial dan Derivature

Seharusnya dari keterangan di atas, sudah jelas bahwa turunan dan diferensial itu berbeda. Turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.Sebagai contoh,Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari  adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini:
Lalu, kenapa dinamakan diferensial?Ingat-ingat kembali rumus turunan:
Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:
Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.Jika , maka

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$
C. KAIDAH TURUNAN KONSTANTA

Untuk sifat pertama turunan, yaitu aturan fungsi konstanta, kita buktikan dengan menggunakan Definisi Turunan seperti pada tulisan diatas. Dan untuk pembuktian sifat lainnya juga menggunakan definisi tersebut.

Sifat 1.

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f'(x) = 0 yakni Dx (k) = 0
$f'(x) = \lim \sb{h \to 0} \dfrac{f(x+h)- f(x)}{h}$
      $= \lim \sb{h \to 0} \dfrac{k - k}{h}$
      $= \lim \sb{h \to 0} 0 = 0$

D. RUMUS UMUM TURUNAN

Jika $f(x)=x^{n}$ maka $f'(x)\;=\;n \cdot x^{n-1}$ , dengan n merupakan bilangan bulat positif.

Bukti:
   $f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+...+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]}{h}$    $= \lim_{h \rightarrow 0} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]$    $= nx^{n-1}$
Contoh turunan pertama dari fungsi $y=x^{9}$ adalah …
Pembahasan:
Penggunaan teorema 3 untuk mencari persamaan $y=x^{9}$ maka turunan pertamanya adalah   $\frac{d}{dx}x^{9}=9 \cdot x^{9-1}= 9x^{8}$

E. TURUNAN PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jika  f(x) = 3x3 + 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut tanpa menggunakan konsep fungsi limit?

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ± v, maka y' = u' ± v'. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka
f(x) = 3x3 + 7x2
f′(x) = 9x2 + 14x
Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini :
Contoh Soal 1
Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x2 + 7x
Penyelesaian:
f(x) = 3x2 + 7x
Misal:
u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x
v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1 = 7
Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7
Contoh Soal 2
Carilah f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2
Penyelesaian:
f(x) = –x3 – 8x2
Misal:
u = –x3 → u' = –3x3 – 1 = –3x2
v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x
Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x
Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f’(x) + g’(x)
contoh
y = x3 + 2x2 maka y’ = 3x2 + 4x
y = 2x5 + 6 maka y’ = 10x4 + 0 = 10x4

Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)(5x + 3). Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?
Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅v'(x). Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh soal 1
Carilah y′ jika y = x(5x + 3)
Penyelesaian:
a) Cara 1:
y = x (5x + 3)
y = 5x2 + 3x
y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1
y' = 10x1 + 3 ⋅ x0
y' = 10x + 3 ⋅ 1
y' = 10x + 3

b) Cara 2:

y = x (5x + 3)

misal:u = x → u' = 1v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'y' = 1 (5x + 3) + x (5)y' = 5x + 3 + 5xy' = 10x + 3

Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v2.Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.Contoh Soal Pembagian Turunan FungsiCarilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)Penyelesaian:y = (3x+1)/(4x-3)misal:u = 3x – 2 → u' = 3
v = 5x + 6 → v' = 5
Jika y = uv, makay' = (u′ v - uv′)/v2
y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2y' = 28/(5x+6)2

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x

f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x

f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x

f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x

f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x

f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri IMisalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ adalah turunan u terhadap x, maka :

f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’

f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’

f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’

f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’

f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’

f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri IIBerikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)

f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)

f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)

f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)

f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)

f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Nah, agar kita lebih mudah menghafal sifat trigonometri diatas, mari kita kerjakan beberapa contoh soal sin cos tan dan turunan trigonometri berikut ini.

Contoh Soal Turunan Trigonometri

Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx = .....

A. 2x sin 3x + 2x² cos x

B. 2x sin 3x + 3x² cos 3x

C. 2x sin x + 3x² cos x

D. 3x cos 3x + 2x² sin x

E. 2x² cos x + 3x sin 3x

Pembahasan:

y = x² sin 3x
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y' = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
= 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
= 2x sin 3x + 3x²cos 3x

(JAWABAN: B)
$f (x)$ $f^{'} (x)$

$f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $f (x)$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$

$f (x)$ $f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $f^{'} (x)$ $f (x)$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x))}{Δ x}$

f (x)

f^{'} (x)

f^{'} (x)

Langganan: Postingan (Atom)