Secara sederhana, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud di sini adalah hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Sedangkan fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal tepat satu ke himpunan daerah kawannya. Perbedaan antara relasi dan fungsi terletak pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya.
Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. Ketiga daerah tersebut adalah daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range). Secara umum, himpunan ketiga daerah tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.
A. RELASI (HUBUNGAN)
1. Definisi Relasi
Relasi menyatakan hubungan antara suatu anggota himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
Misalnya diketahui suatu himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi dari himpunan A dengan himpunan B bisa di sajikan ke dalam diagram panah, diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan rumusnya bisa dilihat pada gambar dibawah ini.
a. Diagram panah
b. Diagram cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan
R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}
d. Rumus
f(x) = x + 1, dimana x ∊ {0, 1, 2, 5} dan f(x) ∊ {1, 2, 3, 4, 6}
B. FUNGSI
1. Definisi Fungsi
Jika tadi pada bagian relasi dari himpunan A dan himpunan B dalam fungsi disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Di dalam fungsi anggota dari himpunan A disebut domain (daerah asal), sedangkan anggota dari himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan anggotan himpunan B yang berpasangan (himpunan C) disebut range (hasil) dari fungsi f.
Contoh soal 1.
Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) = 2x - 1.
a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.
b. Tentukan range fungsi f.
c. Gambarlah grafik fungsi f
Jawab
a. 
b. f(x) = 2x - 1
f(1) = 2.1 - 1 = 1 f(3) = 2.3 - 1 = 5
f(2) = 2.2 - 1 = 3 f(4) = 2.4 - 1 = 7
Jadi, range dari fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}
c. Grafik fungsi
2. Macam-Macam Fungsi
Contoh soal 2.
Diketahui f: R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain {x | -3 ≤ x < 2}. Tentukanlah gambar grafiknya.
f(1) = 2.1 - 1 = 1 f(3) = 2.3 - 1 = 5
f(2) = 2.2 - 1 = 3 f(4) = 2.4 - 1 = 7
Jadi, range dari fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}
c. Grafik fungsi
2. Macam-Macam Fungsi
- Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi f: A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila pada setiap anggota domain fungsi selalu berlaku selalu berlaku f(x) = C, dimana C merupakan bilangan yang konstan. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Contoh soal 2.
Diketahui f: R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain {x | -3 ≤ x < 2}. Tentukanlah gambar grafiknya.
Jawab
- Fungsi linier
Fungsi linier merupakan fungsi f(x) = ax + b, dimana a ≠ 0, a dan b termasuk bilangan konstan. Grafik linier berbentuk garis lurus. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Contoh soal 3.
Jika diketahui f(x) = 2x + 3, tentukanlah gambar grafiknya.
Jawab
- Fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan fungsi f(x) = ax² + bx + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c adalah bilangan konstan. Grafik kuadrat berbentuk parabola. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Contoh soal 4.
Perhatikan gambar dibawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x² + 2x - 3
Tentukanlah:
a. Domain fungsi f
b. Nilai minimum fungsi f.
c. Nilai maksimum fungsi f.
d. Range fungsi f adalah adalah {y | -4 ≤ x < 5}
e. Pembuat nol fungsi f.
f. Koordinat titik balik minimum.
a. Domain fungsi f
b. Nilai minimum fungsi f.
c. Nilai maksimum fungsi f.
d. Range fungsi f adalah adalah {y | -4 ≤ x < 5}
e. Pembuat nol fungsi f.
f. Koordinat titik balik minimum.
Jawab
b. Nilai minimum fungsi f adalah -4.
c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5
d. Range fungsi f adalah {y | -4 ≤ x < 5}
e. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (-1, -4)
- Fungsi identitas
Fungsi identitas merupakan fungsi dimana berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain / daerah asal dari fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas merupakan garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik melalui ordinat yang sama. Fungsi identitas ditentukan f(x) = x. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Contoh soal 5.
Fungsi f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(-2), f(0), f(1), f(3)
b. gambarlah grafiknya
Jawab
f(-2) = -2
f(0) = 0
f(1) = 1
f(3) = 3
b.
- Fungsi tangga (bertingkat)
Fungsi tangga merupakan fungsi f(x) yang berbentuk interval sejajar. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Diketahui fungsi f(x) = -1, jika x < 1
= 0, jika -1 < x < 2
= 2, jika 2 < x < 4
= 2, jika 2 < x < 4
= 3, jika x > 4
Tentukanlah inteval yang terbentuk dari:a. f(-2)
b. f(0)
c. f(3)
d. f(3)
e. grafik yang terbentuk
Jawab
a. f(-2) = -1b. f(0) = 0
c. f(3) = 2
d. f(3) = 3
e.
- Fungsi modulus (mutlak)
Fungsi modulus (mutlak) adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real pada daerah asal suatu fungsi menjadi nilai mutlak.
- Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = -f(x) dan disebut fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x). Jika fungsi f(-x) ≠ -f(x) dan f(-x) ≠ f(x) maka bukan termasuk fungsi ganjil dan fungsi genap. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.
Contoh soal 7.
Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi ganjil, fungsi genap, atau tidak.
a. f(x) = 2x³ + x
b. f(x) = 3 cos x - 5
c. f(x) = x² - 8x
Jawab
a. f(x) = 2x³ + xf(-x) = 2(-x)³ + (-x)
= -2x³ - x
= -(2x³ + x)
= -f(x)
Jadi, fungsi f(x) diatas adalah fungsi ganjil.
b. f(x) = 3 cos x³ - 5
f(-x) = 3 cos (-x) - 5
= 3 cos x - 5
= f(x)
Jadi, fungsi f(x) diatas adalah fungsi genap.
c. f(x) = x² - 8x
f(-x) = (-x)² - 8(-x)
= x² + 8x
Fungsi f(-x) ≠ -f(x) dan f(-x) ≠ f(x)
Jadi, fungsi f(x) diatas bukan fungsi ganjil dan fungsi genap.
3. Sifat-sifat Fungsi
Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga jenis tersebut dapat disimak pada penjelasan di bawah.
- Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)
Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi 
dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.
dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.
Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.
Perhatikan gambar di bawah untuk melihat lebih detail mengenai perbedaannya.
- Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.
Perhatikan gambar di bawah untuk menambah pemahan sobat idschool tentang sifat fungsi surjektif.
- Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Fungsi Bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan. Perhatikan gambar di bawah.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar